Lineaarne kongruentne generaator (LKG)

(ingl Linear congruential generator (LCG))

LKG <- function(n, seeme, a, b, m){
  tulemus <- rep(NA, n)
  tulemus[1] <- (a * seeme + b) %% m
  if(n > 1) {
    for (i in 1:(n - 1)){
      tulemus[i+1] <- (a * tulemus[i] + b) %% m
    }
  }
  return(tulemus/m)
}

RANDU <- function(n){
  return(LKG(n, 1, 65539, 0, 2^31))
}

Ülesanne

Vaatleme juhuslikku suurust Y = (X + 2)², kus X on ühtlase jaotusega lõigus [0, 1].

Suurte arvude seaduse kohaselt peaks ühtlasele jaotusele vastavate juhuslike arvude x₁, x₂, … korral
arvude y_i = (x_i + 2)² , i = 1, 2, … aritmeetiline keskmine lähenema n kasvades juhusliku suuruse Y keskväärtusele.

Leidke ligikaudselt juhusliku suuruse Y keskväärtus, kasutades juhuslike arvude asemel 10000 RANDU generaatoriga (enda valitud seemnest lähtuvalt) tekitatud pseudojuhuslikku arvu.

n <- 10000
X <- RANDU(n)

Y <- (X + 2)^2
EY <- mean(Y)
EY

## [1] 6.333702

Arvutage ka täpne keskväärtus EY (selgitades, mida selleks teha tuleb) ning leidke eelnevalt saadud ligikaudse keskväärtuse viga.

\[EX = \int_{-\infty}^\infty xf(x) ~dx\]

\[EY = E((X+2)^2)\]

Kui tihedusfunktsioon f(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1 korral ja f(x) = 0 mujal:

\[EY = \int_0^1 (x+2)^2 ~dx = \int_0^1 (x^2 + 4x + 4) ~dx = (\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} + 4x)\bigg|_0^1\]

a <- 0
b <- 1
EY2 <- (b^3/3 + 4*b^2/2 + 4*b) - (a^3/3 + 4*a^2/2 + 4*a)
EY2

## [1] 6.333333

EY - EY2

## [1] 0.0003684641

NB! täpse keskväärtuse leidmiseks tuleb leida keskväärtusele vastava integraali väärtus valemi kujul ning alles seejärel välja arvutada valemile vastav väärtus, numbrilise integreerimise vahendid (nt käsk integrate) ei sobi siin kursuses täpse väärtuse leidmiseks!